이온을 분석하며 양자적 현상을 발견하기 까지의 과정은 노벨상이 인정하는 공로이다. 그 과정에서 무수히 많은 논문이 쏟아져 나왔고, 그걸 모두 읽고 이해하기란 쉽지 않다. 우리는 <Quantum dynamics of single trapped ions>가 보여주는 수식을 이해하는 방식으로 TIQC를 정복해나갈 것이다.
앞서 <Trap>에서는 이온을 잡는 것에 대한 내용을 주로 다루었다. 이제는 잡은 이온의 motion에 대해 좀 더 자세히 다룰 것이다.
이미 많은 양자역학 책은 양자 운동에 대해 충분히 다루고 있다. (아래에 간략히 요약해 두었다.) 우리는 이런 이미 발견된 양자역학 지식이 trapped ion에서도 똑같이 도출된다는 것을 이해해야 된다.
보편화된 Quantum-Mechanical Equations of Motion
우리는 3차원 공간 속 classical motion을 각 차원으로 쪼개어 1차원 문제 세 개로 나눌 수 있다. 좌표 $x$를 연산자 $\hat x$로 대체하면 time-dependent potential $V(t)$는 다음과 같다:
$$ V(t) = \frac{m}{2}W(t)\hat x^2 \\ W(t) = \frac{\omega_\text{rf}^2}{4}\left[ a_x+2q_x\cos(\omega_\text{rf}t)\right]. \tag{1} $$
이것은 static potential harmonic oscillator와 유사한 역할을 한다.
Hamiltonian of motion을 $H_m$이라고 정의하면:
$$ \hat H_m = \frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m}{2}W(t)\hat x^2. \tag{2} $$
이것은 Heisenberg picture로 표현 가능하다:
$$ \dot{\hat x}= \frac{1}{i\hbar}[\hat x, \hat H^{(m)}]=\frac{\hat p}{m}, \\ \dot{\hat p}= \frac{1}{i\hbar}[\hat p, \hat H^{(m)}]=-mW(t)\hat x \\
\implies \ddot{\hat x} + W(t)\hat x=0\tag{3} $$
우리는 이온의 운동이 양자 연산자로 표현 가능함을 보여줘야 하기 때문에 몇 가지 단계를 거쳐야 한다. 먼저 우리는 위의 결과물이 Mathieu equation과 동등함을 짚어야 한다.
Mathieu Equation의 시간의존 해밀토니안이 변수 $\xi=\frac{\omega_\text{rf}t}{2} \rightarrow \frac{d}{dt}=\frac{d\xi}{dt}\frac{d}{d\xi}=\frac{\omega_\text{rf}}{2}\frac{d}{d\xi}$에 의존하기 때문에
$$ \frac{d^2x}{d\xi^2} + [a_x-2q_x\cos(2\xi)]x = 0 \\ \left(\frac{2}{\omega_\text{rf}}\right)^2\frac{d^2x}{dt^2}+[a_x-2q_x\cos(\omega_\text{rf}t)]x = 0 \\ \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{\omega_\text{rf}^2}{4}[a_x-2q_x\cos(\omega_\text{rf}t)]x = 0 $$
phase shift를 살짝 해주면 $\cos(\omega_\text{rf}t\ \pm\pi) = -\cos(\omega_\text{rf}t)$ :
$$ \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{\omega_\text{rf}^2}{4}[a_x-2q_x\cos(\omega_\text{rf}t\ \pm\pi)]x = 0\\ \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{\omega_\text{rf}^2}{4}[a_x+2q_x\cos(\omega_\text{rf}t)]x = 0. \tag{4} $$