양자역학에서 “equation of motion(운동방정식)”은 시간에 따라 상태(파동함수/밀도행렬) 혹은 관측량(연산자) 이 어떻게 변하는지를 규정하는 방정식들을 말합니다. 표현(그림, picture)에 따라 형태가 조금 달라지지만 내용은 동일합니다.
닫힌 계에서 순수상태 $|\psi(t)\rangle$의 시간발전은
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat H |\psi(t)\rangle $$
해가 존재할 때는 시간발전 연산자 $\hat U(t,t_0)$로
$$ |\psi(t)\rangle=\hat U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle,\quad \hat U = \mathcal T \exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t}\hat H(t')dt'\right) $$
(해밀토니안이 시간에 무관하면 $\hat U=e^{-i\hat H (t-t_0)/\hbar}$).
상태를 고정하고 연산자가 시간에 따라 변한다고 보면,
$$ \frac{d\hat A_H}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A_H] + \left(\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right)_H $$
이 식은 고전역학의 $\dot A=\{A,H\}$ (푸아송 괄호)와 구조가 매우 유사해서 “양자화된 운동방정식”처럼 이해할 수 있습니다.
$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x)$이면
$$ \dot{\hat x}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat x]=\frac{\hat p}{m},\qquad \dot{\hat p}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat p]= -\frac{\partial V(\hat x)}{\partial x} $$
형태가 고전의 $\left(\dot x=p/m,\, \dot p=-\partial V/\partial x\right)$와 닮습니다(단, 연산자라는 점과 비가환성이 핵심).