2차원 회전은 $\theta$가 가지는 값의 크기가 + 혹은 - 인지만 살펴보면 방향을 알 수 있지만, 3차원은 축에 따라서도 달라지기 때문에 더 복잡하다.

고전역학에서 열심히 연습했던 기억처럼 회전한 결과는 x축 좌표와 y축 좌표가 서로 얽혀서 나타나게 된다. 3차원의 경우 역시 여러 값들이 서로 얽혀 있기에 그것들을 정리하여 matrix로 나타내기가 매우 복잡해진다.

이 문서의 최종 목적은 Arbitrary unitary operator $U$ can be expressed by form of :

$$ U=e^{i\alpha}R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta)\\ U=e^{i\alpha}AXBXC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

말하자면 unitary 연산자를 분해(decomposition)하여 $ABC=I$ 를 만족하는 ABC로 재조합할 수 있다는 걸 보이고 싶은 것이다.

1. $exp(iAx) = cos(x)I + i\sin(x)A$ $x\in R$(real number), matrix $A$ satisfying $A^2=I$.
2. 각 축(axis)에 대한 회전을 보인 rotation 연산자다. $X, Y, Z$ are Pauli matrices. $H$ is Hadamard

$$ R_x(\theta) = e^{-i\theta X/2} = cos{\theta\over2}I\ -\ i\sin{\theta\over2}X = \begin{bmatrix} cos{\theta\over2}&-\ i\sin{\theta\over2}\\-\ i\sin{\theta\over2}&cos{\theta\over2}\end{bmatrix} \\

R_y(\theta) = e^{-i\theta Y/2} = cos{\theta\over2}I\ -\ i\sin{\theta\over2}Y = \begin{bmatrix} cos{\theta\over2}&-\sin{\theta\over2}\\\sin{\theta\over2}&cos{\theta\over2}\end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \\ R_x(\theta) = e^{-i\theta Z/2} = cos{\theta\over2}I\ -\ i\sin{\theta\over2}Z = \begin{bmatrix} e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ H = e^{iπ/2}R_z(π)R_x(π/2) $$

1. From $(\hat n \cdot \vec\sigma) = I$, (sigma is summation of pauli matrices) $\vec\sigma = X+Y+Z$ $R_{\hat n} = exp(-i\theta \hat n \cdot \vec \sigma/2) = \cos({\theta\over2})I - i\sin({\theta\over2})(n_xX+n_yY+n_zZ)$
2. Arbitrary 1Q operator can be expressed in form of : $U=exp(i\alpha)R_{\hat n}(\theta)$ and, $XR_y(\theta)X = R_y(-\theta)$
3. $U = e^{i\alpha}R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta)$. $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in R$
4. $U=e^{i\alpha}AXBXC$

일단 지금은 이런 과정 사이의 연결을 구체적으로 보이지는 않겠다만, 이런 과정을 통해 1Q operating에 대한 개념이 정립된다.

5번과 6번 사이의 관계는 <Furthermore >에 설명해놓았다.